求幂级数∑_n=1^∞nx^n-1的和函数．

求幂级数∑_n=1^∞nx^n-1的和函数．

由于lim_n→∞∣a_n+1/a_n∣=lim_n→∞(n+1)/n=1, 所以收敛半径R=1，设在(-1，1)内， S(x)=∑_n=1^∞nx^n-1=1+2x+3x²+…+nx^n-1+… 则根据幂级数的运算性质，有 ∫₀^xS(x)dx=∑_n=1^∞∫₀^xnx^n-1dx= ∑_n=1^∞xⁿ=x(1+x+x²+…+x^n-1+…)=x/(1-x)(-1﹤x﹤1)， 所以S(x)= [x/(1-x)]′=1/(1-x)² (-1﹤x﹤1)．