f(x)是连续函数且满足f(x)=lnx-∫₀^ef(x)dx．
证明∫₁^ef(x)dx=1/e．

f(x)是连续函数且满足f(x)=lnx-∫₀^ef(x)dx．
证明∫₁^ef(x)dx=1/e．

证明：f′(x)=[lnx-∫₁^ef(x)dx]′=1/x 所以 ∫_e¹f(x)dx=xf(x)|_e¹-∫_e¹xdf(x) =ef(e)-f(1)-f(1)-∫_e¹xf′(x)dx =e[lne-∫_e¹f(x)dx]-[ln1-∫₁^ef(x)dx]-∫_e¹dx =e-e∫₁^ef(x)dx+∫_e¹f(x)dx-e+1 因此e∫_e¹f(x)dx=1，即∫_e¹f(x)dx=1/e．