试用积分定义计算定积分∫₁²x²dx

试用积分定义计算定积分∫₁²x²dx

在[1，2]中插入n-1个分点 x₀=1，x₂=(n+1)/n，…，x_n-1=(2n-1)/n，n=2 每个小区间的长度均为Δx_i=1/n (i=1，2，…，n) 在每个小区间[x_i-1，x_i]上取ξ_i=x_i=(n+i)/n (i=1，2，…，n) 作和式 ∑^∞_i=1f(ξ_i)Δx_i=∑^∞_i=1ξ_i²Δx_i=∑^∞_i=1(1+i/n)²•1/n =∑^∞_i=11/n+∑^∞_i=12i/n²+∑^∞_i=1i³/n³ =1+2/n²•[(1+n)•n/2]+[n(n+1)(2n+1)/6n³ =2+1/n+[(n+1)(2n+1)/6n²] 令λ=maxx_1≤i≤nΔx_i=1/n→0，即n→∞则 ∫₁²x²dx=lim_λ→0∑^∞_i=1f(ξ_i)Δx_i =lim_n→∞[2+1/n+(n-1)(2n-1)/6n²]=7/3