求极限lim_x→∞(1+1/x²)^x

求极限lim_x→∞(1+1/x²)^x

这是一个1∞型未定式，变形后得 lim_x→∞(1+1/x²)=lim_x→∞e^ln(1+1/x2)x =e^{lim_x→∞xln(1/x2)} 得到一个∞•0型未定式，再变形后用洛必达法则，有 lim_x→∞ln(1+1/x²)=lim_x→∞ln(1+1/x²)/(1/x)(0/0型) =lim_x→∞[ln(1+1/x²)]′/(1/x)′=lim_x→∞{[1/(1+x²)][-(2/x³)]}/-(1/x²) =lim_x→∞[2x/(x²+1)]=0 所以lim_x→∞(1+1/x²)^x=e⁰=1