设f(x)在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，且|f′(x)|≤M，f(0)=0．试证明：在[-1，1]上成立|f(x)|≤M

设f(x)在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，且|f′(x)|≤M，f(0)=0．试证明：在[-1，1]上成立|f(x)|≤M

在[-1，1]内任取x，即-1≤x≤1，则f(t)在[0，x]或[x，0]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在0＜ξ＜x或． x＜ξ＜0使得 f(x)-f(0)=f′(ξ)•x 而f(0)=0，所以f(x)=x•f′(ξ)，因此 |f(x)|=|xf′(ξ)|=|x|•|f′(ξ)|≤|f′(ξ)|≤M．