设f(x)=
{x^αsin(1/x)，x≠0
{0，x=0
证明当α＞1时．f(x)在点x=0处可导并求f(0)．

设f(x)=
{x^αsin(1/x)，x≠0
{0，x=0
证明当α＞1时．f(x)在点x=0处可导并求f(0)．

证明：取x₀=0，则△x=x-x₀=x，因此 lim_Δx→0[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx=lim_x→0[f(x)-f(0)]/x =lim_x→0[xⁿ•sin(1/x)/x]=lim_x→0x^α-1sin(1/x) 当α＞1时，α-1＞0，因此x→0时，x^α-1是无穷小量 又|sin(1/x)|≤1，即sin(1/x)是有界变量，所以 lim_x→0[f(x)-f(0)]/x=lim_x→0^α-1•sin(1/x)=0 即f(x)在x=0处可导，并且f′(0)=0．