利用级数的性质判定下列级数的敛散性：(1)1+(1/2²+1/3²)+(1/2³+1/3³)+(1/2⁴+1/3⁴)+…+(1/2ⁿ+1/3ⁿ)+…；
(2)(1+1/2)+(3+1/2³)+(5+1/2⁵)+(7+1/2⁷)+…；
(3)∑

利用级数的性质判定下列级数的敛散性：(1)1+(1/2²+1/3²)+(1/2³+1/3³)+(1/2⁴+1/3⁴)+…+(1/2ⁿ+1/3ⁿ)+…；
(2)(1+1/2)+(3+1/2³)+(5+1/2⁵)+(7+1/2⁷)+…；
(3)∑^∞_n=1(8ⁿ/9ⁿ+1/n)；
(4)∑^∞_n=1[(n²+1)/(2n²+n+1)]

(1)因为 s_n=1+(1/2²+1/3²)+…+(1/2^n-1+1/3^n-1) =(1/2+1/2²+…+1/2^n-1)+(1/3+1/3²+…+1/3^n-1)+1/6 =1-1/2ⁿ+1/2-1/(3ⁿ•2)+1/6． =5/3-1/2ⁿ-1/(3ⁿ•2)≤5/3． 故该级数收敛． (2)由于lim_n→∞(2n-1+1/2^n-1)=+∞≠0 所以 该级数发散． (3)令u_n=1/n，V_n=8ⁿ/9ⁿ+1/n,知u_n≤V_n(n=1，2，…)且，均为正项级数． 又∑^∞_n=11/n,发散，故∑^∞_n=1(8ⁿ/9ⁿ+1/n,)发散． (4)由于lim_n→∞[(n+1)/(2n+n+1)]=lim_n→∞[(1+1/n²)/(2+1/n+1/n²)]=1/2≠0 故该级数发散．