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线性代数(02198) > 正文内容
设α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α1+α3，证明：β1，β2，β3也线性无关．
设α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α1+α3，证明：β1，β2，β3也线性无关．
证明：不妨令k1β1+k2β2+k3β3=0，则有 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=0， 即 (k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0． 因为α1、α2、α3线性无关， 所以有 {k1+k3=0 {k1+k2=0， {k2+k3=0 其系数矩阵的行列式 |1 0 1| |1 1 0| |0 1 1| =2≠0， 所以k1=k2=k3=0，因此β1，β2，β3线性无关．
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