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线性代数(02198) > 正文内容
设α1，α2，…，αn是一组n维向量．证明：α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是任意一个n维向量均可被它们线性表出．
设α1，α2，…，αn是一组n维向量．证明：α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是任意一个n维向量均可被它们线性表出．
证明：⇒)由题设，单位向量组ε1，ε2，…，εn，也可由α1，α2，…，αn线性表出，所以r(ε1，…，εn)≤r(α1，…，αn)．因为r(ε1，…，εn)=n，所以r(α1，…，αn)≥n，又α1，…，αn仅有n个向量，所以r(α1，…，αn)≤n，因此r(α1，…，αn)=n，即α1，…，αn线性无关．⇒)设α为任意一个n维向量，则α，α1，α2，…，αn为n+1个n维向量，则它们必然线性相关，又α1，…，αn线性无关，所以α可由α1，α2，…，αn线性表出．
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