设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵.证明：如果m>n，则|AB|=0．

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵.证明：如果m>n，则|AB|=0．

证明：由条件知AB为m阶矩阵，而|AB|=0⟺r(AB)＜m． 对于任意m×n矩阵A，有r(A)≤min(m，n)，因此当m＞n时，必有r(A)≤n＜m；类似 可得r(B)≤n＜m． 又由于r(AB)≤min(r(A)，r(B))，从而对于m阶矩阵AB，有r(AB)≤n＜m．则|AB|=0．