设向量组α₁，α₂，α₃可由β₁，β₂，β₃线性表出：
α₁=-2β₁+β₂+β₃，
α₂=β₁-2β₂+β₃，
α₃=β₁

设向量组α₁，α₂，α₃可由β₁，β₂，β₃线性表出：
α₁=-2β₁+β₂+β₃，
α₂=β₁-2β₂+β₃，
α₃=β₁+β₂-2β₃．
证明：α₁，α₂，α₃线性相关．

证明：设有xα+xα+xα=0(1)， 将α=-2β₁+β₂+β₃，α₂=β₁-2β₂+β₃，α₃=β₁+β₂-2β₃代入(1)式左边， x(-2β+β+β)+x(β-2β+β)+x(β+β-2β)=0， 整理为(-2x₁+x₂+x₃)β₁+(x-2x₂+x₃)β₂+(x₁+x₂-2x₃)β=0． 令 {-2x₁+x₂+x₃=0 {x₁-2x₂+x₃=0， {x₁+x₂-2x₃=0 此齐次线性方程组的系数行列式 |-2 1 1| |1 -2 1| |1 1 -2| =0 故原方程组有非零解．