设集合A={|a,b 为正整数}，在A上定义二元关系~如下：~当且仅当a+d=b+c。证明~是一个等价关系。

设集合A={|a,b 为正整数}，在A上定义二元关系~如下：~当且仅当a+d=b+c。证明~是一个等价关系。

证明：（1）自反性对∀∈A，有a+b=a+b，所以~。故~具有自反性。（2）对称性设~，则有a+d=b+c，亦即c+b=d+a，所以~。故~具有对称性。（3）传递性设~且~，则有a+d=b+c，c+f=e+d，上述两式两边分别相加后消去c+d，从而a+f=b+e。所以~。故~具有传递性。综合（1）（2）（3），~是一个等价关系。