设A、B、C为集合,证明下列命题。
(1)(AUB)(AUBUC);
(2)(A∩B∩C)⊆(A∩B);
(3)(A-B)-C⊆A-C;
(4)(A-C)∩(C-B)=∅;
(5)A-B=A∩~B;
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C);
(7)(A-B)-C=A-(BUC)
设A、B、C为集合,证明下列命题。
(1)(AUB)(AUBUC);
(2)(A∩B∩C)⊆(A∩B);
(3)(A-B)-C⊆A-C;
(4)(A-C)∩(C-B)=∅;
(5)A-B=A∩~B;
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C);
(7)(A-B)-C=A-(BUC)
证明:(1)(AUB)⊆ (AUBUC)
∀x∈AUB,则x∈AUB或x∈C,进而有x∈AUBUC。
综上,(AUB)⊆(AUBUC)。 证毕
(2)(A∩B∩C)⊆(A∩B)
∀x ∈A∩B∩C,则有x∈A∩B且x∈C,即x∈A∩B
综上,(A∩B∩C)⊆A∩B)。 证毕
(3)(A-B)-C⊆A-C
∀x∈(A-B)-C,则有x∈A-B且x∈~C,
进一步得到x∈A、x∈~B且x∈~C,即x∈A-C。
综上,(A-B)-C⊆A-C。 证毕
(4)(A-C)∩(C-B)=∅
∀x∈(A-C)∩(C-B)⟺ x∈A-C⋀x∈C-B
⟺ x∈A⋀x∈~C⋀x∈C⋀x∈~B
矛盾
综上,(A-C)∩(C-B)=∅。 证毕
(5)A-B=A∩~B
∀x∈A-B⟺ x∈A⋀x∈~B
⟺ x∈A∩~B
综上,A-B=A∩~B。 证毕
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
∀x∈(A-C)-(B-C)⟺ x∈A-C⋀x∈~(B-C)
⟺ x∈A⋀x∈~C⋀x∈~(B-C)
⟺ x∈A⋀x∈~C⋀x∈~(B∩~C)
⟺ x∈A⋀x∈~C⋀x∈(~BC)
⟺ (x∈A⋀x∈~C⋀x∈~B)(x∈A⋀x∈~C⋀x∈C)
⟺ x∈A⋀x∈~C⋀x∈~B
⟺ x∈A⋀x∈~B⋀x∈~C
⟺ x∈A-B⋀x∈~C
⟺ x∈(A-B)-C
综上,(A-B)-C=(A-C)-(B-C)。 证毕
(7)(A-B)-C=A-(BUC)
∀x∈(A-B)-C⟺ x∈(A-B)⋀x∈~C
⟺ x∈A⋀x∈~B⋀x∈~C
⟺ x∈A⋀x∈(~B~C)
⟺ x∈A⋀x∈~(BUC)
⟺ x∈A-(BUC)
综上,(A-B)-C=A-(BUC)。 证毕
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