设R是集合A上的一个自反关系。证明R是对称和传递的,当且仅当 ∈R且 ∈R则 ∈R。

设R是集合A上的一个自反关系。证明R是对称和传递的,当且仅当 ∈R且 ∈R则 ∈R。

证明:充分性  若 ∈R且 ∈R则 ∈R,
对任意 ∈R,因R是自反的,必有 ∈R及 ∈R。
由条件( ∈R, ∈R)知, ∈R,即R是对称的;
对任意的 ∈R, ∈R,必有 ∈R、 ∈r及 ∈R。
由条件( ∈R, ∈R)知, ∈R,
由条件( ∈R, ∈R)知, ∈R,
由条件( ∈R, ∈R)知, ∈R,即R是传递的;
必要性  设R是自反的、对称的及传递的,任意的 ∈且 ∈R,因R的对称性,有 ∈R;再因R的传递性,有 ∈R。  证毕