设R是A上的自反和传递关系,证明:R∩R^-1是A上的一个等价关系。

设R是A上的自反和传递关系,证明:R∩R^-1是A上的一个等价关系。

证明:因R是自反的,故对∀x∈A有 ∈R,进而 ∈R^-1,即 ∈R^-1,R∩R^-1是自反的;
对∀ ∈R∩R^-1,可知 ∈R且 ∈R^-1,即 ∈R^-1且 ∈R, ∈∩R^-1,R∩R^-1是对称的;
对 ∈R∩R^-1, ∈R∩R^-1,因R是传递的,可知 ∈R
因为R∩R^-1的对称性,可知 ∈R∩R^-1, ∈R∩R^-1。
因R是传递的,故有 ∈R,即 ∈R^-1, ∈R∩R^-1,即R∩R^-1是传递的;
综上,R∩R^-1是等价关系。