设f是从A到B的一个函数,定义A上的关系R:aRb,当且仅当f(a)=f(b)。证明:R是A上的等价关系。

设f是从A到B的一个函数,定义A上的关系R:aRb,当且仅当f(a)=f(b)。证明:R是A上的等价关系。

证明:∀x∈A,显然 ∈R,即R满足自反性;
对∀ ∈R,根据定义有f(x)=f(y),可知f(y)=f(x),即 ∈R,R满足对称性;
对∀ ∈R, ∈R,根据定义有f(x)=f(y)=f(z),即 ∈R,R满足传递性;
综上,R是等价关系。