令A和B为有穷集,f:A→B为函数,证明:
(1)如果f是单射的,则 Ι A Ι≤Ι B Ι;
(2)如果f是满射的,则 Ι A Ι≥Ι B Ι。

令A和B为有穷集,f:A→B为函数,证明:
(1)如果f是单射的,则 Ι A Ι≤Ι B Ι;
(2)如果f是满射的,则 Ι A Ι≥Ι B Ι。

证明:(1)因A和B均为有穷集,设A={a₁,a₂…,a_n},B={b_a1,b_a2,...,b_an},其中f(a_i) =b_ai
已知函数f:A→B是单射的,对于A中的a_i和a_j,a_i≠a_j时有b_ai≠b_aj,即B中元素的个a_i, a_j数不少于A中元素的个数,即l A l≤ l B l。
(2)设B={b₁,b₂,…,b_n},A={a_b1,a_b2,...,a_bn},其中对每个b_i∈B,有a_bi∈A,使得f(a_bi)=b_i。因为不可以把B中两个不同的元素指派给A中的同一个元素,但可以将B中的同一个元素指派给A中两个不同的元素,也就是说B的元素个数不会多于A中的元素个数,即l A l ≥ l B l。证毕