设H是G的非空子集,则 是群 的子群当且仅当对任意a,b∈H有a·b^-1∈H。

设H是G的非空子集,则 是群 的子群当且仅当对任意a,b∈H有a·b^-1∈H。

(P90)证明:必要性是显然的。
现证充分性:因为H非空,故有b∈H,按已知条件,则有b·b^-1∈H,即e∈H。
任取a∈H,由e∈H,a∈H,则有
e·a^-1=a^-1∈H
任意a,b∈H,类似上面证明有b^-1∈H,由已知条件得
a·(b^-1)^-1=a·b∈H
已知H是G的非空子集,由上得证(H,·> 是群 的子群。