求微分方程y′′=1/(1+x²)满足初始条件y∣_x=0=1,y′∣_x=0=1的特解．

求微分方程y′′=1/(1+x²)满足初始条件y∣_x=0=1,y′∣_x=0=1的特解．

y ′=∫[1/(1+x²)]dx=arctanx+C₁ 以x=0，y′=1代入得1=arctanO+C₁=C₁，所以 y′=arctanx+1 y=∫(arctanx+1)dx=xarctanx-∫xdarctanx+x =xarctanx-∫[x/(1+x²)]dx+x =xarctanx-1/2[d(1+x²)/(1+x²)]+x =xarctanx-(1/2)ln(1+x²)+x+C² 以x=0，y=1代入得1=C²， 所以特解为y=xarctanx-(1/2)ln(1+x²)+x+1