设f(x)=sinx-∫₀^xf(t)dt，其中f(t)连续，求f(x)．

设f(x)=sinx-∫₀^xf(t)dt，其中f(t)连续，求f(x)．

因f(x)连续，故方程右端是可导的，因此方程左端f(x)也可导，两边同时求导得 f′(x)=cosx-f(x) f′(x)+f(x)=cosx 这是一阶线性方程，解之 f(x)=e^-∫dx[∫cosxe^∫dxdx+C] =e^-x[∫cosxe^xdx+C] =e^-x[e^x(sinx+cosx)/2+C] =1/2(sinx+cosx)+Ce^-x 由原方程知f(0)=0，代入上式得C=-(1/2) 故 f(x)=1/2(sinx+cosx-e^-x)