求下列微分方程的通解．
(1)xy′=yln(y/x)
(2)dy/dx=(x+y)/(x-y)

求下列微分方程的通解．
(1)xy′=yln(y/x)
(2)dy/dx=(x+y)/(x-y)

(1)方程变形为dy/dx=(y/x)ln(y/x)，令y/x=u，y=xu，则dy/dx=u+x du/dx，代入原方程得u+x(du/dx)=ulnu,分离变量得 ∫[1/u(lnu-1)]du= ∫(1/x)dx,∫d(lnu-1)/(lnu-1)=∫dx/x 因此ln(lnu-1)=lnx+C′=lnCx，得 lnu-1=Cx，lnu=Cx+1，u=e^Cx+1 所以通解为y/x=e^Cx+1，y=xe^Cx+1 (2)方程变形为dy/dx=(1+y/x)/(1-y/x)，令y/x=u,则y=xu,dy/dx=u+x(du/dx), 得u+x(du/dx)=(1+u)/(1-u)，x(du/dx)=(1+u)/(1-u)-u=(1+u)²/(1-u)．分离变量得 ∫[(1-u)/(1+u²)]du =∫dx/x，∫du/(1+u²)-1/2∫d(1+u²)/(1+u²)=∫dx/x,因此arctanu-(1/2)ln(1+ u²)=lnCx，arctanu=ln(Cx•√1+u²)，以u=y/x代入，得arctan(y/x)=ln[Cx√(1+y²/x²)]= In(C√x²+y²)，所以通解为arctan (y/x)=ln(C•√x²+y²)．