设f(u)为连续函数，证明沿任意正向光滑闭路L的曲线积分∮_Lf(x²+y²)(xdx+ydy)=0．

设f(u)为连续函数，证明沿任意正向光滑闭路L的曲线积分∮_Lf(x²+y²)(xdx+ydy)=0．

证明：令P(x，y)=xf(x²+y²)，Q(x，y)=yf(x²+y²)，则 ∂p/∂y=x•f′(x²+y²)•(x²+y²)_x′=2xyf′(x²+y²), ∂Q/∂x=xf′(x²+y²)•(x²+y²)_x′=2xyf′(x²+y²), 所以根据格林公式，有 ∮_L(x²+y²)(xdx+ydy)=∫∫_D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dσ =∫∫_D[2xyf′(x²+y²)-2xyf′(x²+y²)]dσ =∫∫_D0•dσ=0 其中D是曲线L围成的有界闭区域．