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高等数学（工本）(00023) > 正文内容
计算∮L[(x+y)dy+(x-y)dr]/(x2+y2)
(1)L是椭圆(x-2)2+4(y-1)2=4的顺时针方向一周．
(2)L是星形线x2/3+y2/3=1的顺时针方向一周．
计算∮L[(x+y)dy+(x-y)dr]/(x2+y2)
(1)L是椭圆(x-2)2+4(y-1)2=4的顺时针方向一周．
(2)L是星形线x2/3+y2/3=1的顺时针方向一周．
由题设可知 P=(x-y)/(x2+y2)，Q=(x+y)/(x2+y2) ∂P/∂y=∂Q/∂x=(y2-x2-2xy)/(x2+y2)，x2+y2≠0 (1)由格林公式有 ∮L=(x+y)dy+(x-y)dx/(x+y)= ∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=0． (2)由于L包含原点，易知， P，Q，∂P/∂y，∂Q/∂x在除原点(0，0)处连续，且有∂P/∂y=∂Q/∂x， 即积分与路径无关，从而围绕原点O(0，0)的任意正向闭曲线，线积∮LPdx+Qdy总相等．不妨取圆周L1：x2+y2=1的正向圆周，则有 ∮L=[(x+y)dy+(x-y)dx]/(x2+y2)=∮L[(x+y)dy+(x-y)dx]/(x2+y2) =∮L(x+y)dy+(x-y)dx=-∬x2+y2≤12dxdy=-2π．
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