计算∫∫_∑zdxdy，其中∑是球面x²+y²+z²=1外侧在x≥0，y≥0部分

计算∫∫_∑zdxdy，其中∑是球面x²+y²+z²=1外侧在x≥0，y≥0部分

∑分为两部分∑₁和∑₂，其中∑₁为z=√1-x²-y² 的上侧，∑₂为z=√1-x²-y²的下侧，并且∑₁和∑₂ 在Oxy平面上的投影区域均为D={(r，θ)∣ 0≤θ≤π/2，0≤r≤1} 所以∫∫_∑zdxdy=∫∫_∑1zdxdy+∫∫_∑2zdxdy =∫∫_D√(1-x²-y²)dσ-∫∫_D[-√(1-x²-y²)]dσ =∫₀^π/2dθ•∫₀¹√1-r²•rdr+ ∫₀^π/2dθ•∫₀¹√1-r²•rdr =π•[-(1/2)]∫₀¹(1-r²)^1/2d(1-r²) =-(π/3)(1-r²)^3/2∣₀¹=π/3