∫∫∫_Ω1/(1+x²+y²)dυ，其中Ω是锥面x²+y²=z²
及平面z=1所围区域．

∫∫∫_Ω1/(1+x²+y²)dυ，其中Ω是锥面x²+y²=z²
及平面z=1所围区域．

积分区域Ω在Oxy平面上的投影区域为D={(x，y)∣x ²+y²≤1} ={(r，θ)∣0≤θ≤2π，0≤r≤1}，又z²=x²+y²=r²， 因此r≤z≤1，积分区域Ω的柱坐标表示为Ω={(r，θ，z)∣0≤0≤2π，0≤r≤1，r≤z≤1} 所以利用柱坐标计算三重积分得 ∫∫∫_Ω[1/(1+x²+y²)]dυ=∫₀^2πdθ∫₀¹ dr∫_r¹[1/(1+r²)]rdz =2π∫₀¹[r/(1+r²)]•z∣_r¹•dr=2π ∫₀¹[r(1-r)/(1+r²)]dr =2π{1/2∫₀¹[1/(1+r²)]d(1+r²)-∫₀¹ [(1+r²-1)/(1+r²)]dr} =2π[(1/2)ln(1+r²)∣₀¹-r∣₀¹+arctanθ∣₀¹] =πln2-2π+π²/2