用极坐标计算下列二重积分：
(1)I=∫∫_D(6-3x-2y)dxdy，其中D：x²+y²R²；
(2)I=∫∫_D√(R²-x²-y²)dxdy，其中D：x²+y²≤Rx；
(3)I=∫∫_Dsin√(x²+y

高老师2年前 (2024-03-26)高等数学（工本）(00023)12

用极坐标计算下列二重积分：
(1)I=∫∫_D(6-3x-2y)dxdy，其中D：x²+y²R²；
(2)I=∫∫_D√(R²-x²-y²)dxdy，其中D：x²+y²≤Rx；
(3)I=∫∫_Dsin√(x²+y²)dxdy，其中D：π²≤x²+y²≤4π²；
(4)I=∫∫_Dln(1+x²+y²)dxdy，其中D是x²+y²≤1在第一象限的部分.

(1)令x=reosθ，y=rsinθ，则 I=∫∫_D(6-3x-2y)dxdy=∫₀^2πdθ∫₀^Rr(6-3rcosθ-2rsinθ)dr =∫₀^2π[(3r²-r³cosθ-(2/3)r³sinθ)∣₀^R]dθ =∫₀^2π[(3R²-R³cosθ-(2/3)R³sinθ)∣dθ=6πR² (2)令x=rcosπ，y=rsinθ，则： I=∫_-(π/2)^2πdθ∫₀^Rcosθ√(R²-r²)rdr= ∫_-(π/2)^2π[-(1/2)]dθ∫₀^Rcosθ√(R²-r²)d(R²-r²) =-(1/4)∫_-(π/2)^2π[1/√(R²-r²)∣₀^Rcosθ]dθ =-(1/4)∫_-(π/2)^2π(1/Rsinθ-1/R)dθ =R³/9(3π-4) (3)令x=rcosθ，y=rsinθ，则： I=∫₀^2πdθ∫_π^2πrsinrdr=∫₀^2π [(1/2)r²sinr-∫_π^2π(r²/2)cosrdr]dθ=-6π² (4)令x=rcosθ，y=rsinθ，则： I=∫∫_Dln(1+x²+y²)dxdy=∫ ₀^π/2dθ∫₀¹rln(1+r²)dr =π/4(2ln2-1)

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