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高等数学（工本）(00023) > 正文内容
证明：
(1)若an≤cn≤bn(n=1，2，…)，且级数∑n=1∞an,∑n=1∞bn均收敛，则级数∑n=1∞cn收敛；
(2)若an≥0(n=1，2,3，…)，且级数∑n=1
证明：
(1)若an≤cn≤bn(n=1，2，…)，且级数∑n=1∞an,∑n=1∞bn均收敛，则级数∑n=1∞cn收敛；
(2)若an≥0(n=1，2,3，…)，且级数∑n=1∞an收敛，则级数
∑n=1∞an2也收敛；
(3)级数∑n=2∞(-1)n/[√n+(-1)n]是发散的。(提示：将(-1)n/[√n+(-1)n]有理化分母)
证明：(1)∵bn-cn≤bn-an ∵∑n=1∞an，∑n=1∞bn均收敛 ∴∑n=1∞bn-an收敛 ∴∑(bn-an)收敛，而∑n=1∞bn收敛 ∴∑n=1∞cn收敛 (2)∵∑an收敛 ∴limn→∞an=0 ∴∋N,n﹥N，∣an∣﹤1，∴an2﹤an ∴∑an2也收敛． (3)(-1)n/[√n+(-1)n]=(-1)n(√n-(-1)n)/(n-1)= (-1)n√n-1/(n-1) ∵∑n=2∞(-1)n√n/(n-1)，收敛(由Dirichlet判别法) - ∑n=2∞1/(n-1)发散 ∴∑n=2∞(-1)n√n-1/(n-1)发散 即(-1)n/√n+(-1)n也发散．
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证明：
(1)若an≤cn≤bn(n=1，2，…)，且级数∑n=1∞an,∑n=1∞bn均收敛，则级数∑n=1∞cn收敛；
(2)若an≥0(n=1，2,3，…)，且级数∑n=1∞an收敛，则级数
∑n=1∞an2也收敛；
(3)级数∑n=2∞(-1)n/[√n+(-1)n]是发散的。(提示：将(-1)n/[√n+(-1)n]有理化分母)
证明：(1)∵bn-cn≤bn-an ∵∑n=1∞an，∑n=1∞bn均收敛 ∴∑n=1∞bn-an收敛 ∴∑(bn-an)收敛，而∑n=1∞bn收敛 ∴∑n=1∞cn收敛 (2)∵∑an收敛 ∴limn→∞an=0 ∴∋N,n﹥N，∣an∣﹤1，∴an2﹤an ∴∑an2也收敛． (3)(-1)n/[√n+(-1)n]=(-1)n(√n-(-1)n)/(n-1)= (-1)n√n-1/(n-1) ∵∑n=2∞(-1)n√n/(n-1)，收敛(由Dirichlet判别法) - ∑n=2∞1/(n-1)发散 ∴∑n=2∞(-1)n√n-1/(n-1)发散 即(-1)n/√n+(-1)n也发散．
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