将f(x)=arctan(1-2x)/(1+2x)展开成x的幂级数，并求级数∑^∞_n=1(-1)ⁿ/(2n+1)的和．→∞n²α_n=0

将f(x)=arctan(1-2x)/(1+2x)展开成x的幂级数，并求级数∑^∞_n=1(-1)ⁿ/(2n+1)的和．→∞n²α_n=0

因为 f′(x)=-2/(1+4x²)=-2∑^∞_n=0(-1)ⁿ4ⁿx²ⁿ x∈(-1/2，1/2) 又f(0)=π/4，所以 f(x)=f(0)+∫₀^xf′(t)dt=π/4-2∫₀^x[∑^∞_n=0(-1)ⁿ4ⁿt²ⁿdt] =π/4-2∑^∞_n=0[(-1)ⁿ4ⁿ/(2n+1)]x²ⁿ⁺¹ x∈(-1/2，1/2) 因为级数∑^∞_n=0收敛，函数f(x)在x=1/2处连续，所以 f(1/2)=π/4-2∑^∞_n=0[(-1)ⁿ4ⁿ/(2n+1)•1/2²ⁿ⁺¹] 再由f(1/2)=0，得 ∑^∞_n=0(-1)ⁿ/(2n+1)=π/4-f(1/2)=π/4