将函数f(x)=e^-x2/2展开为x的幂级数，并计算f⁽⁹⁾(0)．

将函数f(x)=e^-x2/2展开为x的幂级数，并计算f⁽⁹⁾(0)．

利用间接展开法，已知 e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+…，(-∞，+∞) 将-x²/2代换e^x中的x而得之． e^x=∑_n=0^∞xⁿ/n!，(-∞，+∞) 故e^-x2/2=∑_n=0^∞(-x²/2)ⁿ/n!= ∑_n=0^∞(-1)ⁿ[x²ⁿ/(2ⁿ•n！) 即 f(x)=e^-x2/2=∑_n=0^∞(-1)ⁿ[x²ⁿ/(2ⁿ•n!) =1-x²/2+x⁴/(2²•2！)+…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2ⁿ•n!)+…, 又f′(x)=(∑_n=0^∞(-1)ⁿ[x²ⁿ/(2ⁿ•n!))′ =-x+x³/2!-x⁵/(2²•2！)+…+(-1)ⁿx^2n-1/[2^n-1(n-1)]+…, =∑_n=0^∞[(-1)ⁿ2n/(2ⁿ•n!)]x^2n-1 f′′ (x)=∑_n=0^∞[(-1)ⁿ2n(2n-1)/(2ⁿ•n!)]x^2n-2 f′′′ ∑_n=2^∞[(-1)ⁿ2n(2n-1)(2n-2)/(2ⁿ•n!)]x^2n-3…, f ⁽⁹⁾(x)=∑_n=0^∞[(-1)ⁿ2n(2n-1)…(2n-8)/(2ⁿ•n!)]x^2n-9 故 f ⁽⁹⁾(0)=0．