已知f(x)满足f′_n(x)=f_n(x)+x^n-1e^x(n为正整数)，且f_n(1)=e/n，求函数项级数∑^∞_n=1f_n(x)之和．

已知f(x)满足f′_n(x)=f_n(x)+x^n-1e^x(n为正整数)，且f_n(1)=e/n，求函数项级数∑^∞_n=1f_n(x)之和．

由已知条件可见 f′_n(x)-f_n(x)=x^n-1e^x 其通解为 f_n(x)=e^∫dx[∫x^n-1e^xe^-∫dxdx+C]=e^x(xⁿ/n+C) 由条件f_n(1)=e/n得C=0 故 f_n (x)=xⁿe^x/n 从而 ∑^∞_n=1f_n∑^∞_n=1(xⁿe^x/n)=e^x∑^∞_n=1xⁿ/n 记s(x)=∑^∞_n=1xⁿ/n，其收敛域为[-1，1] 当X∈(-1，1)时，有 s′(x)=∑^∞_n=1x^n-1=1/(1-x) 故 s(x)=∫₀^x1/(1-t)dt=-ln(1-x) 当x=-1时，∑^∞_n=1f_n(x)=-e^-1ln2 于是，当-1≤x＜1时，有 ∑^∞_n=1f_n(x)=-e^xln(1-x)