求幂级数∑_n=1^∞nxⁿ的和函数．

求幂级数∑_n=1^∞nxⁿ的和函数．

由于ι=lim_n→∞∣a_n+1/a_n∣=lim_n→∞(n+1)/n=1． 可知级数的收敛半径为R=/ι=1，当x=±1时，由于级数的通项不趋于零，可知级数发散，因而所给幂级数的收敛区间为(-1，1)． 当∣x∣﹤1时，设 s(x)=∑_n=1^∞nxⁿ=x∑_n=1^∞nx^n-1=xS₁(x)， 其中 S₁(x)=∑_n=1^∞nx^n-1 对S₁(x)的表达式进行积分，得 ∫₀^xS₁(x)dx=∫₀^x[∑_n=1^∞nx^n-1]dx =∑_n=1^∞∫₀^xnx^n-1dx=∑_n=1^∞xⁿ 由于 ∑_n=0^∞xⁿ=1/(1-x) (∣x∣ ﹤1), 有 ∫₀^xS₁(x)dx=x/(1-x)， 上式两端对x求导，可得S₁(x)-[x/(1-x)]′=1/(1-x)²， 因此有S(x)=xS₁(x)=x/(1-x)².