将函数f(x)=ln(x²+1)展开为z的幂级数．

将函数f(x)=ln(x²+1)展开为z的幂级数．

∵f′(x)=2x/(1+x²) =2x∑_n=0^∞(-x²)ⁿ ∣x∣﹤1 =∑_n=0^∞2(-1)ⁿn²ⁿ⁺¹ ∣x∣﹤1 ∴f(x)=∫₀^xf′(x)dx=∑_n=0^∞2(-1)ⁿ[1/(2n+2)]x²ⁿ⁺²∣x∣﹤1 =∑_n=1^∞[(-1)^n-1/n]x²ⁿ ∣x∣﹤1. 又∵当∣x∣=1时，级数∑_n=1^∞[(-1)^n-1/n]x²ⁿ 收敛． ∴ln(1+x²)=∑_n=1^∞[(-1)^n-1/n]x²ⁿ ∣x∣≤1．