证明曲面xyz=a³(a﹥0)上每一点的切平面与坐标面所围的四面体的体积为一个常数，并求此常数．

证明曲面xyz=a³(a﹥0)上每一点的切平面与坐标面所围的四面体的体积为一个常数，并求此常数．

设曲面上任一点坐标为(x₀，y₀，z₀)，则：该点的切平面方程为： (x-x₀) •y₀z₀+(y-y₀)x₀z₀+ (z-z₀)x₀y₀ =0， 即：xy₀z₀+yx₀z₀+zx₀y₀=3a₃ 所围四面体的体积V=1/3•(1/2)•(3a³/y₀z₀)• (3a³/x₀z₀)•(3a³/x₀y₀)=1/3•(1/a₆)) •(1/2)•(27a⁹)=(9/2)a³