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高等数学（工本）(00023) > 正文内容
设z=f(x，y)有二阶连续偏导数，其中x=rcosθ，y=rsinθ．证明：
∂u2/∂x2+∂2u/∂y2=∂2z/∂r2+1/r2(∂2z/∂θ2)+1/r(∂z/∂r
设z=f(x，y)有二阶连续偏导数，其中x=rcosθ，y=rsinθ．证明：
∂u2/∂x2+∂2u/∂y2=∂2z/∂r2+1/r2(∂2z/∂θ2)+1/r(∂z/∂r)
将x、y看做中间变量，r、θ看做自变量，则有 ∂z/∂r=fxcosθ+fysincθ ∂z/∂θ=fx(-rsinθ+fy(rcosθ) ∂2z/∂r2=fxxcos2θ+fxycosθsinθ+fyxsinθcosθ+fyysin2θ ∂2z/∂θ2=fxxrsin2θ+fxy(-r2cosθsinθ)+fyz(-r2sinθcosθ)+fyyr2cos2θ-r[fcosθ+fsinθ] 则 ∂2z/∂r2+1/r2(∂2z/∂θ2)=fxx+fyy-1/r(∂z/∂r) 故得 ∂2z/∂x2+∂2z/∂y2=∂2z/∂r2+1/r2(∂2z/∂θ2)+1/r(∂z/∂r)．
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