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高等数学（工本）(00023) > 正文内容
求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值．
求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值．
先求驻点，因为 ∂z/∂x=4x3-2x-2y，∂z/∂y=4y3-2x-2y． 令 {∂z/∂x=4x3-2x-2y=0 {∂z/∂y=4y3-2x-2y=0 解之得驻点(-1，-1)，(1，1)和(0，0)． 接下来判断驻点是否为极值点，先求二阶偏导： ∂2z/∂x2==12x2-2，∂2z/∂x∂y=/∂x(∂z/∂y)=-2，∂2z/∂y2=12y2-2． 对于点(-1，-1)：A=∂2z/∂x2|(-1，-1)=10,B=∂2z/∂x∂y|(-1，-1)=-2，C=∂2z/∂y2|(-1，-1)=10．从而△=B2-AC=4-100＜0，而A＞0，故(-1，-1)为极小值点，极小值为z(-1，-1)=-2． 对于点(1，1)：A=∂2z/∂x2|(1，1)=10，B=∂2z/∂x∂y|(1，1)=-2，C=∂2z/∂y2|(1，1)=10，从而△=B2-AC=4-100＜0，而A＞0，故(1，1)也是极小值点，极小值为z(1，1)=-2． 对于点(0，0)：A=∂2z/∂x2|(0，0)=-2，B=∂2z/∂x∂y|(0，0)=-2，C=∂2z/∂y2|(0，0)=-2，从而△=B2-AC=0，故用此法无法判断(0，0)是否为极值点． 若y=x，则z(x，y)=z(x，x)=2x2(x2-2)，当|x|＜1时，z(x，y)＜0=z(0，)； 若y=-x，则z(x，y)=z(x，-x)=2x4＞0=z(0，0)．故(0，0)不是极值点．
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