已知随机向量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=X³，求X与Y的相关系数ρXY．

已知随机向量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=X³，求X与Y的相关系数ρXY．

E(XY)=E(X⁴) =1/√2π∫^+∞_-∞x⁴e^-x2/2dx=1/√2π∫^+∞_-∞x³de^-(x2/2) = 1/√2π^x3e-(x2/2)|^+∞_-∞+3/2π∫^+∞_-∞x²e^-(x2/2)dx =3/√2π∫^+∞_-∞x²e^-(x2/2)dx=3 D(X)=1， D(Y)=E(Y²)-(E(Y))²=E(X⁶)-(E(X³))²． 而E(X⁶)=1/√2π∫^+∞_-∞x⁶•e^-(x2/2)dx=15， E(X³)=3/√2π∫^+∞_-∞x²e^-x2/2dx=0． 则D(Y)=15， ρXY=Cov(X，Y)/√D(X)√D(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)/√D(X)√D(Y) =(3-0)/1•√15=√15/5 注意：当X～N(μ，σ)，则有 (1)μ^2m-1=0(m=1，2，…)， (2)μ^2m=(2m-1)(2m-3)…3•σ^2m(m=1，2…)．