设(X，Y)的概率密度f(x)=
{12y²，0≤y≤x≤1；
{0，其他
求：(1)关于X、Y的边缘概率密度f_X(x),f_Y(y)；
(2)E(X)，E(Y)；
(3)E(XY)；
(4)E(X²+Y²)．

设(X，Y)的概率密度f(x)=
{12y²，0≤y≤x≤1；
{0，其他
求：(1)关于X、Y的边缘概率密度f_X(x),f_Y(y)；
(2)E(X)，E(Y)；
(3)E(XY)；
(4)E(X²+Y²)．

(1)f_X(x)=∫^+∞_-∞f(x，y)dy= {∫^x₀12y²dy，0≤x≤1； {0， 其他． = {4x³，0≤x≤1； {0， 其他． f_Y(y)=∫^+∞_-∞f(x，y)= {∫¹_y12y²dx,0≤y≤1； {0， 其他． = {12y²(1-y)，0≤y≤1； {0， 其他． (2)E(X)=∫^+∞_-∞)xf_X(x)dx=∫¹₀x•4x³dx=4/5． E(Y)=∫^+∞_-∞yf_Y(y)dy=∫¹₀•12y²(1-y)dy =12∫¹₀y₃dy-12∫¹₀y₄dy=3/5． (3)E(XY)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞xyf(x，y)dxdy =∫¹₀dx∫^x₀12y²dy=∫¹₀3x⁵dx=1/2． (4)E(X²+Y²)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞(x²+y²)f(x，y)dxdy =∫¹₀dx∫^x₀(x²+y²)•12y²dy =∫¹₀[4x⁵+(12/5)x⁵)dx =(32/5)•1/6x⁶|₀¹=16/105