已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x，y)=
{Cxy，0≤x≤1，0≤y≤1；
{0，其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X＜Y)．

已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x，y)=
{Cxy，0≤x≤1，0≤y≤1；
{0，其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X＜Y)．

(1)由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 ∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞f(x，y)dxdy=C∫¹₀∫¹₀xydxdy=C/4=1， 所以C=4． (2)当x＜0或Y＜0时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x＜1，0≤Y＜1时， F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u，υ)dudυ=4∫^x₀udu∫^y₀υdυ =x²y²； 当0≤x＜1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫^x₀udu∫^y₀υdυ=x²； 当x≥1，0≤y＜1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫¹₀udu∫^y₀υdυ=y²； 当x≥1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫¹₀udu∫^y₀υdυ=1； 所以(X，Y)的分布函数 F(x，y)= {0， x＜0或y＜0； {x²y²，0≤x＜1，0≤y＜1； {x²，0≤x＜1，Y≥1； {Y2，x≥1，0≤y＜1； {1， x≥1，Y≥1． (3)P(X＜Y)=∫∫_x＜yf(x，y)dxdy=∫∫_{0≤x＜y＜1} =4∫¹₀ydy∫^y₀xdx=1/2