目标函数F(x)=4x₂+x₂²+x₁²-x₁x₂,具有等式约束h(x)=x₁+x₂-8=0,试求目标函数的极值并判断是极大值还是极小值。

目标函数F(x)=4x₂+x₂²+x₁²-x₁x₂,具有等式约束h(x)=x₁+x₂-8=0,试求目标函数的极值并判断是极大值还是极小值。

该问题为具有等式约束的极值问题,可以通过约束条件消去一个设计变量。
由等式约束条件得:x₁=8-x₂
将上式代入目标函数得:
F(x)=4x₂+x₂²+(8-x₂)²-(8-x₂)x₂=3x₂²-20x₂+64
对于一元函数取极值,其一阶导数必须等于零。
∴由dF(x₂)/dx₂=6x₂-20=0可得
x₂=10/3，x₁=8-x₂=14/3
又∵在(14/3,10/3)^T点处函数的二阶导数为:
d²F(x₂)/dx₂²=6＞0
∴点(14/3,10/3)^T为函数的极小值点。
目标函数的极值为: F(x*)≈30.67