求微分方程cosx(dy/dx)=ysinx+cos²x满足初始条件y|_x=π=1的特

求微分方程cosx(dy/dx)=ysinx+cos²x满足初始条件y|_x=π=1的特

原万程可化为 (dy/dx)-(sinx/cosx)y=cosx， 易知P(x)=-(sinx/cosx)，Q(x)=cosx，将其代入一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得 y=e^{∫(sinx/cosx)dx}(C+ ∫cosxe^{-∫(sinx/cosx)dx}dx) =1/cosx[C+∫(1+cos2x)/2dx] =1/cosx(C+x/2+sin2x/4)． 由y|_x=π=1，得1=-C-(π/2)，即C=-1-(π/2) 故所求特解为y=1/cosx(x/2+sin2x/4-1-π/2)．