设某厂生产的某种产品固定成本为200(百元)，每生产1个单位商品，成本增加5(百元)，且已知需求函数为Q=100-2p，其中P为价格，Q为产量．这种商品在市场上是畅销的．(1)试分别列出商品的总成本函数C(p)及总收益函数R(p)；(2)求出使该商品的总利润最大时的产量；(3)求最大利润．

设某厂生产的某种产品固定成本为200(百元)，每生产1个单位商品，成本增加5(百元)，且已知需求函数为Q=100-2p，其中P为价格，Q为产量．这种商品在市场上是畅销的．(1)试分别列出商品的总成本函数C(p)及总收益函数R(p)；(2)求出使该商品的总利润最大时的产量；(3)求最大利润．

(1)总成本C(p)等于可变成本与固定成本之和，总收益函数R(p)为价格与销售量的乘积，故C(p)=5(100-2p)+200=700-10p，R(p)=p(100-2p)=100p-2p²．(2)设总利润函数为L(p)，则L(p)=R(p)-C(p)=100p-2p²-(700—10p)=-2p²+110p-700，L´(p)=-4p+110，令L′(p)=0，得-4p+110=0，解得p=55/2，L”(p)=-4﹤0，故L(55/2)为L(p)的最大值．当总利润最大时，产量Q=(100-2p)∣_p=55/2=100-55=45(单位)(3)最大利润为L(55/2)=(-2p²+110p-700)∣_p=55/2=812.5(百元)．