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概率论与数理统计（二）(02197) > 正文内容
已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x,y)=
{Cxy,0≤x﹤≤1,0≤y≤1;
0,其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X﹤Y)．
已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x,y)=
{Cxy,0≤x﹤≤1,0≤y≤1;
0,其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X﹤Y)．
(1)由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)dxdy =C∫10∫10xydxdy=C/4=1， 所以C=4． (2)当x﹤0或y﹤0时， F(x，y)=p(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x﹤1，0≤y﹤1时， F(x，y)=∫x-∞∫y-∞(u，υ)dudυ =4∫x0udu∫y0υdυ =x2y2; 当0≤x<1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x,Y≤y)=4∫x0udu∫y0υdυ=x2； 当x≥1，0≤Y<1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫10udu∫y0υdυ=y2； 当x≥1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫10udu∫10υdυ=1； 所以(X．Y)的分布函数 F(x，y)= {0, x﹤0<或y﹤0； x2y2, 0≤x﹤1，0≤y﹤1； x2，0≤x﹤1，y≥1； y2, x≥1,0≤y≤1； 1, x≥1, y≥1. (3)P(x﹤y)=∫∫x﹤yf(x,y)dxdy =∫∫0≤x﹤y﹤14xydxdy =4∫10ydy∫y0xdx =1/2
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