设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)=a(b+ arctan x)(c+arctan 2y),-∞<x<+∞,- ∞<y<+∞.求：(1)常数a，b，c；(2)(X，Y)的概率密度．

设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)=a(b+ arctan x)(c+arctan 2y),-∞<x<+∞,- ∞<y<+∞.求：(1)常数a，b，c；(2)(X，Y)的概率密度．

(1)因为(X<+∞,Y<+∞)是必然事件，所以F(+∞,+∞)=P(X<+∞,Y<+∞)=1，X<-∞与Y<-∞都是不可能事件，所以F(-∞,y)=P(X<-∞,Y≤y)=0，F(x,-∞)=P(X≤x,Y<-∞)=0，F(-∞,-∞)=P(X<-∞,Y<-∞)=0. F(+∞,+∞)=α(b+π/2)(c+π/2)=1,F(x,-∞)=α(b+arctan x) (c-π/2)=0，F(-∞,y)=α(b-π/2)(c+arctan 2y)=0.从上面第二式得c=π/2，从上面第三式得b=π/2，再从上面第一式得α=1/π². (2)(X,Y)的分布函数为F(x,y)=1/π²(π/2+arctan x)(π/2+arctan 2y),从而概率密度为f(x,y)=a²F(x,y)/axay=2/π²(1+x²)(1+4y². 点拨：F(+∞,+∞)=P{X<+∞,Y<+∞}=1.