如果n阶实对称矩阵A满足A³=E_n，证明：A一定是单位矩阵．

如果n阶实对称矩阵A满足A³=E_n，证明：A一定是单位矩阵．

因为 A³=E_n 所以 A的特征值一定是x³=1的实根 所以 λ₁=λ₂=λ₃=1 因而A相似于单位矩阵必有A=E_n． 由已知有：(A²+A+E)(A-E)=0 且A²+A+E的特征值λ₁=λ₂=λ₃=3 所以 r(A-E)=0 所以 A=E．