设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_m线性无关．

设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_m线性无关．

证明：如果β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m的表示式唯一，又ι₁α₁+ι₂α₂+…+ι_mα_m=0，则β+0=β=(k₁+ι₁)α₁+(k₂+ι₂)α+…+(k_m+ι_m)α由唯—性得k₁+ι₂=k₁，k₂+ι₂=k₂，…，k_m+ι_m=k_m，所以ι₁=ι₂=…=ι_m=0，即α₁，α₂，…，α_m线性无关．反之，如果α₁，α₂，…，α_m线性无关，又β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=ι₁α₁+ι₂α₂+…+ι_mα_m则(k₁-ι₁)α₁+(k_m-ι_m)α₂+…+(k_m-ι_m)α_m=0由α₁，α₂，…，α_m的线性无关性得k₁-ι₂=k₂-ι₂=…=k_m-ι_m=0即k₁=ι₁，k₂=ι₂，…，k_m=ι_m，所以表示式唯一