设S={α₁，α₂，…，α_s}和T={β₁，β₂，…，β_t}是两个n维列向量组．已知T是线性无关组，S是线性相关组．如果T可由S线性表出，证明：必有t＜s．

设S={α₁，α₂，…，α_s}和T={β₁，β₂，…，β_t}是两个n维列向量组．已知T是线性无关组，S是线性相关组．如果T可由S线性表出，证明：必有t＜s．

证明：记B=(β₁，β₂，…β_t)，A=(α₁，α₂，…α_s)有B=Ak，其 中表出矩阵k为s×t阵． 因为 T是线性无关组 所以 t=r(B)≤r(k)≤t 必有t=r(k)≤s 如果t=s，则k是可逆方阵．有r(A)=r(B)=t=s 这与s是线性相关组的假设矛盾 所以 t