设V1是R⁴由a1=
(1
1
0
0),
a2=
(1
0
1
1)
生成的子空间，V2是R⁴由β1=
(2
-1
3
3),
β2=
(0
1
-1
-1)
生成的子空间，证明V1=V2

设V1是R⁴由a1=
(1
1
0
0),
a2=
(1
0
1
1)
生成的子空间，V2是R⁴由β1=
(2
-1
3
3),
β2=
(0
1
-1
-1)
生成的子空间，证明V1=V2

证明：以a1,a2,β1,β2为列向量的矩阵作初等行变换，有 (1 1 2 0 1 0 -1 1 0 1 3 -1 0 1 3 -1) → (1 1 2 0 0 -1 -3 1 0 1 3 -1 0 1 3 -1) → (1 0 -1 1 0 -1 -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0) 由此得出β1=-a1+3a2,β2=a1-a2,所以V2≤A1；又对矩阵进一步作初等行变换得 ( 1 0 -1 1 -1 -1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0) → (3/2 1/2 0 1 -1 -1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0) 由此得出a1=1/2β1+3/2β2,a2=1/2β1+1/2β2,所以V1≤V2 由以上结论有V1=V2