设α₁，α₂，…，α_n是n维列向量空间Rⁿ的一个基，A是任意一个n阶可逆矩阵，证明：n维列向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_n一定是Rⁿ的基．

设α₁，α₂，…，α_n是n维列向量空间Rⁿ的一个基，A是任意一个n阶可逆矩阵，证明：n维列向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_n一定是Rⁿ的基．

证明：不妨设k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_nAα_n=0 所以 A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n)=0 因为 A可逆 所以 k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0 因为 α₁，α₂…α_n是Rⁿ的一个基 所以 α₁，α₂…α_n线性无关 所以 k₁=k₂…=k_n=0 从而Aα₁，Aα₂，…Aα_n陀线性无关 所以 Aα₁，Aα₂，…Aα_n也是Rⁿ的基．