已知向量组α₁，α₂，α₃的秩为2，而向量组α₂，α₃，α₄的秩为3，证明：α₁可以由α₂，α₃线性表示；而α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表示．

已知向量组α₁，α₂，α₃的秩为2，而向量组α₂，α₃，α₄的秩为3，证明：α₁可以由α₂，α₃线性表示；而α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表示．

证明：由已知条件可知，α₁，α₂，α₃线性相关而α₂，α₃，α₄线性无关．如果α₂，α₃线性相关，则α₁，α₂，α₃也线性相关，故一定有α₂，α₃线性无关，所以α₂，α₃是α₁，α₂，α₃的极大无关组，因此α₁可由α₂，α₃线性表示．如果α₄可由α₁，α₂，α₃线性表示，而α₁又可以由α₂，α₃线性表示，则α₄可由α₂，α₃线性表示，与α₂，α₃，α₄线性无关相矛盾，所以一定有α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表示．