证明n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P使
A=P^T•P．

证明n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P使
A=P^T•P．

证明：如果A正定，则A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q使得Q^TAQ=I，所以 A=(Q^T)^-1•Q^-1=(Q-1)^T•Q^-1，令P=Q^-1，则P可逆，并且 A=P^T•P 反之，如果存在可逆矩阵P使A=p^Tp，由于齐次线性方程组AX=0仅有零解，所以对任意n阶非零向量X，PX≠0(零向量)， 即令Y= (y1 y2 • • • yn) =PX 则y1，y2，…，yn不全为0，所以 X^TAX =X^TP^TPX=(PX)^T•PX =y₁²+y₂²+•••+y_n²0， 即A正定．